Question

【題目】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點．

（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．

（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;

（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？

Answer 1

【答案】】(1).

(2) （i）490.

（ii）應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.

【解析】分析：(1)利用獨立重復(fù)實驗成功次數(shù)對應(yīng)的概率，求得，之后對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點，這里要注意的條件；

(2)先根據(jù)第一問的條件，確定出，在解（i）的時候,先求件數(shù)對應(yīng)的期望，之后應(yīng)用變量之間的關(guān)系，求得賠償費用的期望；在解（ii）的時候，就通過比較兩個期望的大小，得到結(jié)果.

詳解：（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為.因此

.

令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.

所以的最大值點為.

（2）由（1）知，.

（i）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.

所以.

（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.

由于，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.