Question

設定義在[x₁，x₂]上的函數y=f （x）的圖象為C，C的端點為A，B，P （x，y）為C上任意一點，若=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），且x=λx₁+（1-λ）x₂；記=λ+（1-λ），現定義“當（k為正的常數）恒成立時，稱函數y=f （x）在[x₁，x₂]上可在標準k下線性近似”．
（1）證明：0≤λ≤1；
（2）請給出一個標準k的范圍，使得在[0，1]上的函數y=x²與y=x³中有且只有一個可在標準k下線性近似．

Answer 1

（1）證明：由題意，x₁≤x≤x₂，∴x₁≤λx₁+（1-λ）x₂≤x₂，∴x₁-x₂≤λ（x₁-x₂）≤0．
∵x₁-x₂＜0，∴0≤λ≤1；
（2）解：∵=λ+（1-λ），∴，∴
∴B、M、A三點在一條直線上．
又由（1）的結論，M在線段AB上，且與點P的橫坐標相同．
對于[0，1]上的函數y=x²，A（0，0），B（1，1），
則有P（x，x²），M（x，x），∴=x-x²∈[0，]；
同理對于[0，1]上的函數y=x³，=x-x³，
令g（x）=x-x³，則g′（x）=1-3x²，
∵x∈（0，）時，g′（x）＞0；x∈（，1）時，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，）上單調遞增；在（，1）上單調遞減
∴g（x）在x=處取得最大值，而g（0）=g（1）=0，∴∈[0，]
∵
∴k∈時，函數y=x²與y=x³中有且只有一個可在標準k下線性近似．
分析：（1）據區間的左端點小于等于右端點，列出x₁≤x≤x₂，將x的值代入解不等式，即可證得結論；
（2）對于y=x²與y=x³分別求出M，P兩點的距離的最大值，利用題目中的定義求出k的范圍即可．
點評：本題考查新定義，考查函數的最值，考查學生的計算能力，考查向量知識的運用，屬于中檔題．