Question

設定義在[x₁，x₂]上的函數y＝f(x)的圖象為C，C的端點為點A、B，M是C上的任意一點，向量＝(x₁，y₁)，＝(x₂，y₂)，＝(x，y)，若x＝λx₁＋(1－λ)x₂，記向量＝λ＋(1－λ)．現在定義“函數y＝f(x)在[x₁，x₂]上可在標準k下線性近似”是指≤k恒成立，其中k是一個人為確定的正數．

(1)證明：0＜λ≤1；

(2)請你給出一個標準k的范圍，使得[0，1]上的函數y＝x²與y＝x³中有且只有一個可在標準k下線性近似．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意，x1≤x≤x2，即x1≤x1＋(1－)x2≤x2，∴x1－x2≤(x1－x2) ≤0． 　　∵x1－x2＜0，∴0≤≤1．(4分) 　　(2)由＝＋(1－)，得＝． 　　所以B、N、A三點在一條直線上．又由(1)的結論，N在線段AB上，且與點M的橫坐標相同． 　　對于[0，1]上的函數y＝x2，A(0，0)，B(1，1)，則有||＝x－x2＝，故||． 　　對于[0，1]上的函數y＝x3，則有||＝x－x3＝g(x)．在(0，1)上，g′(x)＝1－3x2， 　　可知在(0，1)上y＝g(x)只有一個極大值點x＝，所以函數y＝g(x)在(0，)上是增函數；在(，1)上是減函數．又g()＝，故||[0，]． 　　經過比較，＜，所以取k[，)，則有函數y＝x2在[0，1]上可在標準k下線性近似，函數y＝x3在[0，1]上不可在標準k下線性近似．(16分)