Question

（2012•開封二模）甲乙兩個學校高三年級分別有1100人，1000人，為了了解兩個學校全體高三年級學生在該地區二�？荚嚨臄祵W成績情況，采用分層抽樣的方法從兩個學校一共抽取了105名學生的數學成績，并作出了頻數分布統計表如下，規定考試成績[120，150]內為優秀，

甲校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數	2	3	10	15
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數	15	10	y	3

乙校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數	1	2	9	8
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數	10	10	y	3

（1）計算x，y的值；
（2）由以上統計數據填寫右面2×2列聯表，若按是否優秀來判斷，是否有97.5%的把握認為兩個學校的數學成績有差異．
（3）根據抽樣結果分別估計甲校和乙校的優秀率；若把頻率作為概率，現從乙校學生中任取3人，求優秀學生人數ξ的分布列和數學期望．

	甲校	乙校	總計
優秀
非優秀
總計

附：k²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2＞K）	0.10	0.025	0.010
K2	2.706	5.024	6.635

Answer 1

分析：（1）根據條件知道從甲校和乙校各自抽取的人數，做出頻率分布表中的未知數；
（2）根據所給的條件寫出列聯表，根據列聯表做出觀測值，把觀測值同臨界值進行比較，得到有97.5%的把握認為兩個學校的數學成績有差異；
（3）確定ξ的取值，求出相應的概率，可得分布列和數學期望．

解答：解：（1）由分層抽樣知，甲校抽取了105×

1100

2100

=55人成績，乙校抽取了105×

1100

2100

=50人成績
∴x=6，y=7；
（2）2×2列聯表如下：

	甲校	乙校	總計
優秀	10	20	30
非優秀	45	30	75
總計	55	50	105

∵K²=

105×(10×30-20×45)2

30×75×50×55

≈6.109＞5.024，
∴有97.5%的把握認為兩個學校的數學成績有差異；
（3）甲校優秀率為

2

11

，乙校優秀率為

2

5

ξ=0，1，2，3，ξ～B（3，

2

5

）
P（ξ=0）=

C

0 3

(

2

5

)0(1-

2

5

)3=

27

125

；P（ξ=1）=

C

1 3

(

2

5

)1(1-

2

5

)2=

54

125

；
P（ξ=2）=

C

2 3

(

2

5

)2(1-

2

5

)1=

36

125

；P（ξ=3）=

C

3 3

(

2

5

)3(1-

2

5

)0=

8

125

，
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	27 125	54 125	36 125	8 125

Eξ=3×

2

5

=

6

5

點評：本題主要考查獨立性檢驗的應用，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題的關鍵是正確運算出觀測值，理解臨界值對應的概率的意義，屬于中檔題．