Question

（2010•唐山三模）如圖，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2

3

的菱形，∠BAD=60°，側面VAD⊥底面ABCD，VA=VD，E為AD的中點．
（Ⅰ）求證：平面VBE⊥平面VBC；
（Ⅱ）當直線VB與平面ABCD所成的角為30°時，求面VBE與面VCD所成銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接BD．證明AD⊥VE，AD⊥BE，通過VE∩BE=E，推出AD⊥平面VBE．利用BC∥AD，BC⊥平面VBE，然后證明平面VBE⊥平面VBC；
（Ⅱ）分別以EB、ED、EV為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出C，D，V的坐標，利用

m

•

DV

=

m

•

DC

=0，推出平面VCD的法向量

m

=(x，y，z)，求出平面VBE的法向量

n

=（0，1，0），利用cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m ||  n |

，求面VBE與面VCD所成銳二面角的大小．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接BD．
由已知，側面VAD和△ABD，VA=VD，是以AD為公共底邊的等腰三角形，
E為AD的中點，∴AD⊥VE，AD⊥BE，
又VE∩BE=E，∴AD⊥平面VBE．
∵BC∥AD，∴BC⊥平面VBE，
又BC?平面VBC，
∴平面VBE⊥平面VBC．
（Ⅱ）∵側面VAD⊥底面ABCD，∴VE⊥底面ABCD，
當直線VB與平面ABCD所成的角為30°，即∠VBE=30°，
由已知，BE=3，BC=2

3

，DE=

3

，VE=BEtan30°=

3

．
分別以EB、ED、EV為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則C（3，2

3

，0），D（0，

3

，0），V（0，0，

3

）．
設

m

=(x，y，z)為平面VCD的法向量，則

m

•

DC

=

m

•

DV

=0，
∵

DC

=(3，

3

，0)，

DV

=(0，-

3

，

3

 )，
∴

3x+ 3 y=0 - 3 y+ 3 z=0

，取

m

=(-1，

3

，

3

)，
又

n

=（0，1，0）為平面VBE的法向量，
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m ||  n |

=

3

(-1)2+( 3 )2+( 3 )2 • 1

=

3

7

=

21

7

．
所以面VBE與面VCD所成銳二面角的大小為arccos

21

7

．

點評：本題是中檔題，考查平面與平面垂直的證明方法，平面與所成二面角的大小的向量求法，考查計算能力，轉化思想，常考題型．