Question

【題目】如圖，橢圓的右頂點為，左、右焦點分別為，過點且斜率為的直線與軸交于點，與橢圓交于另一個點，且點在軸上的射影恰好為點．

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過點的直線與橢圓交于兩點（不與重合），若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或．

【解析】試題分析：（Ⅰ）當時，BF1⊥x軸，求出，列出方程組，求出a，b即可得到橢圓的標準方程．

（Ⅱ）通過民間的比推出．設M（x1，y1），N（x2，y2），設MN方程為y=kx﹣1，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理轉化情況直線的斜率，求出直線方程．

試題解析：

（1）當時， 軸，得到點，

所以，所以橢圓的方程是．

（2）因為， 所以．

設，則，有

①當斜率不存在， 的方程為，

或，(不合條件,舍去)

②當斜率存在，由（Ⅰ）可知，設方程為，

聯立方程得： ．

由韋達定理可得，將代入可得，

即．所以．

所以直線的方程為或．