Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，直線與橢圓C交于A，B兩點，且．

(1)求橢圓C的方程．

(2)不經過點的直線被圓截得的弦長與橢圓C的長軸長相等，且直線與橢圓C交于D，E兩點，試判斷的周長是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）的周長為定值為，詳見解析

【解析】

（1）根據已知條件求出A、B兩點的坐標，再由和離心率為建立關于a,b,c的方程，從而得橢圓的方程；

（2）根據直線被圓所截得的弦長等于橢圓的長軸長得出k,m的關系，再將直線與橢圓的方程聯立消去y，得到交點的橫坐標的韋達定理表達式，分別求出，得出的周長為定值，得解.

（1）因為，所以，則即，所以橢圓C的方程可化為，

由得不妨令

易知則

因為，所以,即，

又，所以

所以橢圓C的方程為

（2）由（1）知橢圓C的長軸長為，因為直線被圓截得的弦長與橢圓C的長軸長相等，所以圓的圓心O（O為坐標原點）到直線l的距離，所以，即

設，聯立方程，得整理得

所以，又，

所以

又

所以，

所以的周長是.

所以的周長為定值，為.

得解.