Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，圓：過橢圓的三個頂點，過點的直線（斜率存在且不為0）與橢圓交于兩點．

（1）求橢圓的標準方程．

（2）證明：在軸上存在定點，使得為定值，并求出定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析，定點

【解析】

（1）先判斷圓經過橢圓的上、下頂點和右頂點，令圓方程中的，得，即．再由求即可.

（2）設在軸上存在定點，使得為定值，根據題意，設直線的方程為，聯立可得，再運算

將韋達定理代入化簡有與k無關即可.

（1）由圓方程中的時，的兩根不為相反數，

故可設圓經過橢圓的上、下頂點和右頂點，

令圓方程中的，得，即有．

又，解得．

∴橢圓的標準方程為．

（2）證明：設在軸上存在定點，使得為定值，

由（1）可得，設直線的方程為，

聯立可得，

設，則，

，

要使為定值，只需，解得．

∴在軸上存在定點，使得為定值，定點的坐標為．