Question

已知|

a

|=4，|

b

|=2，且

a

與

b

夾角為60°．
（1）求

a

•

b

；
（2）求（2

a

-

b

）•（

a

+

b

）；
（3）若

a

-2

b

與

a

+k

b

垂直，求實數k的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積的定義可得

a

 •

b

=|

a

| |

b

|cos600，代入已知條件可求．
（2）利用向量的數量積的運算性質可得(2

a

-

b

)•(

a

+

b

)=2

a

2+

a

•

b

-

b

2代入已知條件可求．
（3）由題意可得(

a

-2

b

)•(

a

+k

b

)=0，利用向量數量積的運算性質展開可求k．

解答：解（1）

a

•

b

=|

a

|•|

b

|  cos600=4×2×

1

2

=4（3分）
（2）(2

a

-

b

)•(

a

+

b

)=2|

a

|2+

a

•

b

-

|b

|2
=2×16+4-4=32（8分）
（3）∵(

a

-2

b

)⊥(

a

+k

b

)
∴(

a

-2

b

)•(

a

+k

b

)= 

a

2+(k-2)

a

•

b

-2k 

b

2=0（12分）
∴16+4（k-2）-8k=0，k=2（14分）

點評：本題考查平面向量的基本運算性質，數量積的定義、運算性質，向量垂直的性質，考查向量問題的基本解法．