Question

【題目】設函數.

（1）試討論函數的單調性；

（2）如果且關于的方程有兩解， （），證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）見解析.

【解析】試題分析：

(1)求解函數的導函數，分類討論可得：

①若，則當時，數單調遞減，當時， 函數單調遞增；

②若，函數單調遞增；

③若，則當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增.

(2)原問題即證明，構造新函數 ，結合新函數的性質和題意即可證得結論.

試題解析：

（1）由，可知 .

因為函數的定義域為，所以，

①若，則當時， ，函數單調遞減，當時， ，函數單調遞增；

②若，則當在內恒成立，函數單調遞增；

③若，則當時， ，函數單調遞減，當時， ，函數單調遞增.

（2）要證，只需證.

設 ，

因為，

所以為單調遞增函數.

所以只需證，

即證，

只需證 .（*）

又， ，

所以兩式相減，并整理，得 .

把 代入（*）式，

得只需證，

可化為.

令，得只需證.

令（），

則 ，

所以在其定義域上為增函數，

所以.

綜上得原不等式成立.