Question

【題目】已知函數.

（1）若，且在上單調遞減，求的取值范圍；

（2）若，且在區間恒成立，求的取值范圍；

（3）當，時，求證：在區間至少存在一個，使得.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據二次函數在區間上單調遞減得出，進而可求得實數的取值范圍；

（2）由題意得出對任意的恒成立，利用參變量分離法得出，求出函數在上的最大值，即可得出實數的取值范圍；

（3）利用反證法，假設對任意的，均有，根據題意得出，推出矛盾即可.

（1）當時，，該二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線，

由于函數在單調遞減，則有，解得.

因此，實數的取值范圍是；

（2）由題可知在恒成立，則且,

令，，則二次函數在時單調遞減，

當時，函數取得最大值，即，，

因此，實數的取值范圍是；

（3）由題可知，且，函數開口向上，對稱軸，

則在單調遞減，其值域為，

若不存在使得，即對任意都有，

即，可得，即，與矛盾.

故必存在，使得.