Question

研究一下，是否存在一個三角形具有以下性質：

(1)三邊是連續的三個自然數；

(2)最大角是最小角的2倍．

Answer 1

答案：略
解析：

設三角形三邊長分別是，n，，三個角分別是，，．由正弦定理， ， 所以， ． 由余弦定理， ， 即 ． 化簡，得 ， 所以，n＝0，或n＝5．n＝0不合題意，舍去．n＝5．三角形的三邊分別是4，5，6．可以驗證此三角形的最大角是最小角的2倍． 　　另解：先考慮三角形所具有的第一個性質：三邊是連續的三個自然數． 　　(1)三邊的長不可能是1，2，3．這是因為1＋2＝3，而三角形任何兩邊之和大于第三邊． 　　(2)如果三邊分別是a＝2，b＝3，c＝4． 因為 ， ， ． 在此三角形中，A是最小角，C是最大角，但是， ， 所以， ． 邊長為2，3，4的三角形不滿足條件． 　　(3)如果三邊分別是a＝3，b＝4，c＝5，此三角形是直角三角形，最大角是90°，最小角不等于45°，此三角形不滿足條件． 　　(4)如果三邊是a＝4，b＝5，c＝6．此時， ， ， ． 因為 ，而，， 所以， ． 所以，邊長為4，5，6的三角形滿足條件． 　　(5)當，三角形的三邊是a＝n，b＝n＋1，c＝n＋2時，三角形的最小角是A，最大角是C． ， ． cosA隨n的增大而減小，A隨之增大，cosC隨n的增大而增大，C隨之變小．由于時有C＝2A，所以，時，不可能． 　　綜上可知，只有邊長分別為4，5，6的三角形滿足條件．