Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)是F（1，0），0為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)M是直線l：x=4上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)M為直徑的圓過(guò)點(diǎn)N，且NF⊥OM，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得N到該定點(diǎn)的距離為定值？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，得到橢圓短軸的三分之一的值，由此列式可以得到橢圓的半短軸的長(zhǎng)，結(jié)合a²=b²+c²可以得到a²的值，所以橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出N的坐標(biāo)，求出NF所在直線的斜率，由NF⊥OM得到OM所在直線的斜率，寫(xiě)出OM所在直線方程后得到M點(diǎn)的坐標(biāo)，求出ON和MN的斜率，由以O(shè)M為直徑的圓過(guò)點(diǎn)N，得到ON和MN所在直線的斜率之積等于-1，列式整理后即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，且c=1，
所以

2 3

3

=

1

3

×2b，解得b=

3

．
∴a²=b²+c²=4．
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）存在定點(diǎn)O（原點(diǎn)），使得N到該定點(diǎn)的距離為定值，如圖，
設(shè)N（x₀，y₀），則直線NF的斜率為kNF=

y0

x0-1

，
直線ON的斜率為kON=

y0

x0

∵NF⊥OM，∴直線OM的斜率為kOM=-

x0-1

y0

，
∴直線OM的方程為y=-

x0-1

y0

x，點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(4，-

4(x0-1)

y0

)．
∴直線MN的斜率為kMN=

y0+ 4(x0-1) y0

x0-4

．
∵ON⊥MN，∴k_MN•k_ON=-1，∴

y0+ 4(x0-1) y0

x0-4

•

y0

x0

=-1，
整理得x02+y02=4．
∴存在定點(diǎn)O（原點(diǎn)），使得N到該定點(diǎn)的距離為定值，且該定值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是有一定難度題目．