Question

一條直線經(jīng)過P（3，2），并且分別滿足下列條件，求直線方程．
（1）傾斜角是直線x-4y+3=0的傾斜角的2倍；
（2）夾在兩坐標(biāo)間的線段被P分成1：2；
（3）與x軸，y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，且△AOB的面積最小．

Answer 1

分析：（1）先求得直線x-4y+3=0的傾斜角，再用二倍角的正切求得所求直線的斜率；
（2）先設(shè)出直線方程，再求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式表示出兩線段求得；
（3）設(shè)出直線方程，分別求得在x軸，y軸正半軸的截距，建立三角形面積模型，再求最值所在狀態(tài)．

解答：解：（1）直線x-4y+3=0的傾斜角是α=arctan

1

4

，∴所求直線的傾斜角β=2arctan

1

4

，∴其斜率k=tan（2arctan

1

4

）=

8

15

∴所求直線方程是：y-2=

8

15

（x-3）即：8x-15y+6=0
（2）設(shè)直線方程為y-2=k（x-3）
令x=0得，y=2-3k；與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)A（0，2-3k）
令y=0得，x=3-

2

k

與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)B（3-

2

k

，0）
①若|PB|=2|PA|
∴

9+(2-2+3k)2

=2

(3-3+ 2 k )2+4

解得：k=-

1

3

或

1

3

（舍），
直線方程是x+3y-9=0，
②若|PA|=2|PB|，同理可得直線方程為4x+3y-18=0
故直線方程是4x+3y-18=0或x+3y-9=0
（3）設(shè)直線方程為

x

a

+

y

b

=1
1=

3

a

+

2

b

≥2

3 a • 2 b

=2

6 ab

得ab≥24
S_△min=

ab

2

=12

3

a

=

2

b

，ab=24
解得a=6，b=4
所以所求直線方程為

x

6

+

y

4

=1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線方程的應(yīng)用．