Question

一條直線經過點P（3，2），并且分別滿足下列條件，求直線方程：
（1）傾斜角是直線x-4y+3=0的傾斜角的2倍；
（2）與x、y軸的正半軸交于A、B兩點，且△AOB的面積最小（O為坐標原點）

Answer 1

分析：（1）設出所求直線的傾斜角為θ，已知直線的傾斜角為α，則tanα等于直線的斜率

1

4

，由傾斜角是直線x-4y+3=0的傾斜角的2倍得到θ=2α，利用二倍角的正切函數公式根據tanα的值求出tanθ的值即為所求直線的斜率，然后利用P點坐標和斜率寫出直線方程即可；（2）設出直線的截距式方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），然后把P點代入后，根據基本不等式求出ab的最小值即可得到面積的最小值時a與b的值，根據a與b的比值求出直線的斜率，然后根據斜率和P點寫出直線方程即可．

解答：解：（1）設所求直線傾斜角為θ，
已知直線的傾斜角為α，則θ=2α，
且tanα=

1

4

，tanθ=tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

8

15

，
從而方程為8x-15y+6=0．

（2）設直線方程為

x

a

+

y

b

=1，a＞0，b＞0，
代入P（3，2），得

3

a

+

2

b

=1≥2

6 ab

，得ab≥24，
從而S_△AOB=

1

2

ab≥12，
此時

3

a

=

2

b

，∴k=-

b

a

=-

2

3

．
∴方程為2x+3y-12=0．

點評：考查學生理解直線斜率與傾斜角的關系，靈活運用二倍角的正切函數公式化簡求值，會利用基本不等式求函數的最小值．會根據斜率和一點寫出直線的方程．