Question

已知函數的定義域為，且的圖象連續不間斷. 若函數滿足：對于給定的（且），存在，使得，則稱具有性質.
（1）已知函數，，判斷是否具有性質，并說明理由；
（2）已知函數 若具有性質，求的最大值；
（3）若函數的定義域為，且的圖象連續不間斷，又滿足，
求證：對任意且，函數具有性質.

Answer 1

（1）具有該性質,證明見解析;（2）;（3）證明見解析.

試題分析：（1）創新定義問題,首先要讀懂具有性質P(m)的意思, 對于給定的（且），存在，使得，按照此定義進行判斷,假設具有該性質, 設，令,解得,滿足定義,故具有性質P(3);（2）m在0到1之間,取一半,看是
具有性質P(),如果有,再判斷是否有大于的m,沒有的話,最大值就是;（3）構造函數，則,……=-,相加,有,分里面有零和沒零進行討論,得到結論.
試題解析：（1）設，即
令, 則
解得,
所以函數具有性質
（2）m的最大值為.
首先當時，取,
則，,
所以函數具有性質,
假設存在，使得函數具有性質, 
則,
當時，，，,
當時，，，,
所以不存在，使得,
故的最大值為.  
（3）任取,
設，其中,
則有,
,
,
……
,
……
,
以上各式相加得：,
當中有一個為時，不妨設為，
即,
則函數具有性質,
當均不為時，由于其和為，則必然存在正數和負數，
不妨設其中，,
由于是連續的，所以當時，至少存在一個,
（當時，至少存在一個）,
使得，
即,
故函數具有性質.