Question

如圖，在邊長為1m的正方形鐵皮的四角切去邊長為x的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底鐵皮箱，容積為V，并規定：鐵皮箱的高度x與底面正方形的邊長的比值不超過正常數c，求V的最大值，并寫出相應的x的值．

Answer 1

長方體的底面正方形的邊長為1-2x，高為x，所以，容積V=4（x-

1

2

）²x，
鐵皮箱的高度x與底面正方形的邊長1-2x的比值

x

1-2x

≤c，得 0＜x≤

c

1+2c

，
由均值不等式知V=2（

1

2

-x）（

1

2

-x）（2x）≥

2

27

，
當

1

2

-x=2x，即x=

1

6

時等號成立．
①當

1

6

≤

c

1+2c

，即 c≥

1

4

，V_max=

2

27

；
②當

1

6

≤

c

1+2c

，即 0＜c＜

1

4

時，V'（x）=12（x-

1

3

） ²-

1

3

，
則V′（x）在（0，

1

6

）上單調遞減，
∴V'（x）≥V'（

c

1+2c

）＞V'（

1

6

）=0，
∴V（x）在（0，

c

1+2c

]單調遞增，
∴V_max=V（

c

1+2c

）=

c

(1+2c)3

總之，0＜c＜

1

4

時，則當x=時

c

1+2c

，V_max=V（

c

1+2c

）=

c

(1+2c)3

；
若 c≥

1

4

，V_max=

2

27

．