Question

如圖，在邊長為1m的正方形鐵皮的四角切去邊長為x的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底鐵皮箱，容積為V，并規定：鐵皮箱的高度x與底面正方形的邊長的比值不超過正常數c，求V的最大值，并寫出相應的x的值．

Answer 1

【答案】分析：先求出長方體的底面正方形的邊長和高，便可求出長方體的容積V解析式，把容積V變形后使用基本不等式求出最大值，注意分析等號成立條件能否滿足，當等號成立條件不能滿足時，利用導數值的符號確定函數的單調性，由單調性確定函數的最大值．
解答：解：長方體的底面正方形的邊長為1-2x，高為x，所以，容積V=4（x-）²x，
鐵皮箱的高度x與底面正方形的邊長1-2x的比值≤c，得 0＜x≤，
由均值不等式知V=2（-x）（-x）（2x）≥，
當-x=2x，即x=時等號成立．
①當≤，即 c≥，V_max=；
②當≤，即 0＜c＜時，V'（x）=12（x-） ²-，
則V′（x）在（0，）上單調遞減，
∴V'（x）≥V'（）＞V'（）=0，
∴V（x）在（0，]單調遞增，
∴V_max=V（）=
總之，0＜c＜時，則當x=時，V_max=V（）=；
若 c≥，V_max=．
點評：此題是一道應用題，主要還是考查導數的定義及利用導數來求區間函數的最值，利用導數研究函數的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，解題的關鍵是求導要精確．