Question

【題目】自然狀態下的魚類是一種可再生資源，為了持續利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響.用表示某魚群在第年年初的總量且.不考慮其他因素，設在第年內魚群的繁殖量及捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數依次為正常數，，

（1）求與的關系式

（2）若每年年初魚群的總量保持不變，求，，，所應滿足的條件

（3）設，，為保證對任意，都有，則捕撈強度的最大允許值是多少？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2），且；（3）捕撈強度的最大允許值是1.

【解析】

（1）利用題中的關系求出魚群的繁殖量，被捕撈量和死亡量就可得到與的關系式；

（2）每年年初魚群的總量保持不變就是恒等于，轉化為恒成立，再利用（1）的結論，就可找到，，，所滿足的條件；

（3）先利用（1）的結論找到關于和的不等式，再利用，求出的取值范圍以及的最大允許值，最后再用數學歸納法進行證明即可

（1）從第年初到第年初，魚群的繁殖量為，被捕撈量為，死亡量為，

因此，即，

（2）若每年年初魚群總量保持不變，則恒等于，，

得到恒等于0，，所以.即.

因為，所以.

當，且.每年年初魚群的總量保持不變.

（3）若的值使得，

由，，知，，

特別地，有.即.

而，所以.由此猜測的最大允許值是1.

當，時，都有，，

①當時，結論顯然成立.

②假設當時結論成立，即，

則當時，.

又因為，

所以，故當時結論也成立.

故對于任意的，都有.

綜上所述，為保證對任意，都有，，

則捕撈強度的最大允許值是1.