Question

(本題滿分15分) 已知實數a滿足1＜a≤2，設函數f (x)＝x³－x²＋ax．

(Ⅰ) 當a＝2時，求f (x)的極小值；

(Ⅱ) 若函數g(x)＝4x³＋3bx²－6(b＋2)x (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同，

求證：g(x)的極大值小于等于10．

 

Answer 1

【答案】

 

(Ⅰ) f (x)的極小值為f (2)＝．

(Ⅱ)略

【解析】(Ⅰ)解：當a＝2時，f ′(x)＝x²－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

         列表如下：

 

x	(－，1)	1	(1，2)	2	(2，＋)
f ′(x)	＋	0	－	0	＋
f (x)	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

 

所以，f (x)的極小值為f (2)＝．…………………………………6分

 (Ⅱ) 解：f ′(x)＝x²－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．

由于a＞1，

所以f (x)的極小值點x＝a，則g(x)的極小值點也為x＝a．

而g ′ (x)＝12x²＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，

所以，

即b＝－2(a＋1)．

又因為1＜a≤2，

所以  g(x)_極大值＝g(1)

＝4＋3b－6(b＋2)

＝－3b－8

＝6a－2

≤10．

故g(x)的極大值小于等于10．…………………………15分