Question

【題目】已知函數f(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1(a>1)．

(1)求函數y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；

(2)當a>1時，求函數y＝f(x)的單調區間和極值．

Answer 1

【答案】（1）切線方程為y＝1；（2）答案見解析.

【解析】

(1)由f′(0)＝k,可得函數y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程的斜率，又f(0)＝1。可得切線方程

(2)求出f′(x)，令f′(x)=0得出零點。討論f′(x)隨x變化的情況即可得出單調區間以及極值。

(1)f(0)＝1，f′(x)＝＋x－a＝，f′(0)＝0，所以函數y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝1.

(2)函數的定義域為(－1，＋∞)，

令f′(x)＝0，即＝0.

解得x＝0或x＝a－1.

當a>1時，f(x)，f′(x)隨x變化的情況如下：

x	(－1，0)	0	(0，a－1)	a－1	(a－1，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

可知f(x)的單調減區間是(0，a－1)，增區間是(－1，0)和(a－1，＋∞)，極大值為f(0)＝1，極小值為f(a－1)＝aln a－a2＋.