Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+（2a+1）x+b，其中a，b∈R． （Ⅰ）當a=1，b=﹣4時，求函數f（x）的零點；
（Ⅱ）如果函數f（x）的圖象在直線y=x+2的上方，證明：b＞2；
（Ⅲ）當b=2時，解關于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=x2+3x﹣4=0，解得x=﹣4，或x=1．

所以函數f（x）有零點﹣4和1．

（Ⅱ）證明：（方法1）因為f（x）的圖象在直線y=x+2的上方，

所以ax2+（2a+1）x+b＞x+2對x∈R恒成立．

即ax2+2ax+b﹣2＞0對x∈R恒成立．

所以當x=0時上式也成立，代入得b＞2．

（方法2）因為f（x）的圖象在直線y=x+2的上方，

所以ax2+（2a+1）x+b＞x+2對x∈R恒成立．

即ax2+2ax+b﹣2＞0對x∈R恒成立．

當a=0時，顯然b＞2．

當a≠0時，

由題意，得a＞0，且△=（2a）2﹣4a（b﹣2）＜0，

則4a（b﹣2）＞4a2＞0，

所以4a（b﹣2）＞0，即b＞2．

綜上，b＞2．

（Ⅲ）由題意，得不等式ax2+（2a+1）x+2＜0，即（ax+1）（x+2）＜0．

當a=0時，不等式化簡為x+2＜0，解得x＜﹣2；

當a≠0時，解方程（ax+1）（x+2）=0，得根x1=﹣2， ．

所以，當a＜0時，不等式的解為：x＜﹣2，或 ；

當 時，不等式的解為： ；

當 時，不等式的解集為；

當 時，不等式的解為： ．

綜上，當a＜0時，不等式的解集為{x|x＜﹣2，或 ；

當a=0時，不等式的解集為{x|x＜﹣2}；

當 時，不等式的解集為 ；

當 時，不等式的解集為；

當 時，不等式的解集為

【解析】（Ⅰ）解方程x2+3x﹣4=0，即可得到所求零點；（Ⅱ）（方法1）由題意可得ax2+（2a+1）x+b＞x+2對x∈R恒成立．考慮x=0，可得結論；

（方法2）由題意可得ax2+2ax+b﹣2＞0對x∈R恒成立．討論當a=0時，當a≠0時，得a＞0，且△=（2a）2﹣4a（b﹣2）＜0，即可得證；（Ⅲ）由題意可得（ax+1）（x+2）＜0，對a討論，當a＜0，a=0，當 時，當 時，當 時，運用二次不等式的解法，即可得到所求解集．

【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．