Question

已知F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點，A是橢圓短軸上的一個頂點，橢圓的離心率為

1

2

，點B在x軸上，AB⊥AF，A、B、F三點確定的圓C恰好與直線x+

3

y+3=0相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設O為橢圓的中心，過F點作直線交橢圓于M、N兩點，在橢圓上是否存在點T，使得

OM

+

ON

+

OT

=

0

，如果存在，則求點T的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率為

1

2

，可得A，F的坐標，從而可求AF的斜率，進而可得AB的斜率與方程，由此可得圓心坐標與半徑，利用A、B、F三點確定的圓C恰好與直線x+

3

y+3=0相切，即可求得橢圓方程；
（2）分類討論，將直線方程代入橢圓方程，利用向量知識及韋達定理，即可求得結論．

解答：解：（1）∵e=

1

2

，∴c=

1

2

a，b=

3

2

a
∴F(-

1

2

a，0)
取A（0，

3

2

a），∴kAF=

3 2 a-0

0-(- 1 2 a)

=

3

∵AB⊥AF，∴kAB=-

3

3

，∴lAB：y=-

3

3

x+

3

2

a
令y=0，∴x=

3

2

a，∴B(

3

2

a，0)
∴圓心(

1

2

a，0)，半徑r=a
∵A、B、F三點確定的圓C恰好與直線x+

3

y+3=0相切
∴圓心到直線x+

3

y+3=0的距離d=

1 2 a+3

2

=a，∴a=2，∴b=

3

∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（7分）
（2）當MN的斜率存在時，設直線MN：ny=x+1，聯立

ny=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，（3n²+4）y²-6ny-9=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），T（x₀，y₀），y1+y2=

6n

3n2+4

，y1y2=-

9

3n2+4

∵

.

O

M

+

.

O

N

+

.

O

T

=

0

，

∴ y0=-y1-y2 x0=-x1-x2

∴

64

4(3n2+4)2

+

36n2

3(3n2+4)2

=1，解得，n=0．…（12分）
即MN的斜率存在時，T（2，0）．
當MN的斜率為0時，T不存在． …（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理的運用，解題的關鍵是直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理及向量知識，建立方程．