Question

已知函數，其中，為自然對數的底數.
（1）設是函數的導函數，求函數在區間上的最小值；
（2）若，函數在區間內有零點，求的取值范圍。

Answer 1

（1）當時，g(x)在[0，1]上的最小值是1－b；當時，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b;當時，g(x)在[0，1]上的最小值是e－2a－b.（2）(e－2，1).

解析試題分析：（1）先求出的導函數即為的解析式，再求出的導函數，研究的值在[0,1]上的正負變化情況，得出的單調性，根據單調性求出在[0,1]上的最小值，因導數函數參數，故需要分類討論；（2）設函數在區間內有零點，利用=0，判定出在[0,1]間的單調性，從而得出在[0,1]間的正負變化情況，得出在[0,1]上零點的個數，結合（1）的結論，得出在零點所在區間的端點的正負，列出關于的不等式，求出的范圍.
試題解析：（1）由，有
所以
因此，當x∈[0，1]時，
當時，，所以g(x)在[0，1]上單調遞增
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b
當時，，所以g(x)在[0，1]上單調遞減
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b
當時，令g'(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)
所以函數g(x)在區間[0，ln(2a)]上單調遞減，在區間[ln(2a)，1]上單調遞增
于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b
綜上所述，當時，g(x)在[0，1]上的最小值是1－b；
當時，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b;
當時，g(x)在[0，1]上的最小值是e－2a－b.
（2）設x₀為f(x)在區間(0，1)內的一個零點，則由f(0)＝f(x₀)＝0可知
f(x)在區間(0，x₀)上不可能單調遞增，也不可能單調遞減，
則g(x)不可能恒為正，也不可能恒為負.
故g(x)在區間(0，x₀)內存在零點，
同理，g(x)在區間(x₀，1)內存在零點
所以，g(x)在區間(0，1)內至少有兩個零點
由（1）可知，當時，g(x)在[0，1]上單調遞增，故g(x)在(0，1)內至多有一個零點，
當時，g(x)在[0，1]上單調遞減，故g(x)在(0，1)內至多有一個零點，
所以，
此時，g(x)在區間[0，ln(2a)]上單調遞減，在[ln(2a)，1]上單調遞增
因此，x₁∈(0，ln(2a))，x₂∈(ln(2a)，1)，必有
g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0
由f(1)＝0有a＋b＝e－1＜2有
g(0)＝1－b＝a－e＋2＞0，g(1)＝e－2a－b＝1－a＞0
解得e－2＜a＜1
當e－2＜a＜1時，g(x)在區間[0，1]內有最小值g(ln(2a))，
若g(ln(2a))≥0，則g(x)≥0(x∈[0，1])
從而f(x)在區間[0，1]上單調遞增，這與f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))＜0
又g(0)＝a－e－2＞0，g(1)＝1－a＞0
故此時g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)內各有一個零點x₁和x₂，
由此可知，f(x)在[0，x₁]上單調遞增，在[x₁，x₂]上單調遞減，在[x₂，1]上單調遞增.
所以f(x₁)＞f(0)＝0，f(x₂)＜f(0)＝0
故f(x)在(x₁，x₂)內有零點
綜上所述，a的取值范圍是(e－2，1).
考點：導數的運算,導數在研究函數中的應用，函數的零點，推理論證能力，運算求解能力，創新意識，