Question

（2007•金山區一模）（1）已知平面上兩定點A（-2，0）、B（2，0），且動點M的坐標滿足

MA

•

MB

=0，求動點M的軌跡方程；
（2）若把（1）的M的軌跡圖象向右平移一個單位，再向下平移一個單位，恰與直線x+ky-3=0 相切，試求實數k的值；
（3）如圖1，l是經過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)長軸頂點A且與長軸垂直的直線，E、F是兩個焦點，點P∈l，P不與A重合．若∠EPF=α，證明：0＜α≤arctan

c

b

．類比此結論到雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，l是經過焦點F且與實軸垂直的直線，A、B是兩個頂點，點P∈l，P不與F重合（如圖2）．若∠APB=α，試求角α的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設點M為（x，y），利用坐標表示向量，代入題目中的條件

MA

•

MB

=0得x²+y²=4，即得到點M的軌跡方程．
（2）由題意圖象向右平移一個單位，再向下平移一個單位得到新的圓的方程（x-1）²+（y+1）²=4，根據其與直線x+ky-3=0 相切可得k=0或k=

4

3

（3）由題得α=∠EPA-∠FPA，所以tanα=tan（∠EPA-∠FPA），可得0＜α≤arctan

c

b

；類比橢圓的證明方法得到雙曲線
的類似的性質 0＜α≤arctan

a

b

．

解答：解：（1）設M（x，y），
由

MA

•

MB

=0得x²+y²=4，
此即點M的軌跡方程．…（3分）
（2）將x²+y²=4向右平移一個單位，再向下平移一個單位后，
得到圓（x-1）²+（y+1）²=4…（5分）
依題意有

|k+2|

k2+1

=2，得k=0或k=

4

3

…（8分）
（3）（ⅰ）證明：不妨設點P在A的上方，并設P（a，t）（t＞0），
則tan∠EPA=

a+c

t

，tan∠FPA=

a-c

t

…（10分）
所以tanα=tan(∠EPA-∠FPA)=

a+c t - a-c t

1+ a2-c2 t2

=

2c

t+ b2 t

≤

c

b

…（12分）
所以0＜tanα≤

c

b

．顯然α為銳角，即：0＜α≤arctan

c

b

…（14分）
（ⅱ）不妨設點P在F的上方，并設P（c，t）（t＞0），
則tan∠APF=

c+a

t

 ， tan∠BPF=

c-a

t

，
所以tanα=tan(∠APF-∠BPF)=

c+a t - c-a t

1+ c2-a2 t2

=

2a

t+ b2 t

≤

a

b

由于tanα＞0且tanα≤

a

b

，α為銳角，故0＜α≤arctan

a

b

．…（18分）

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的位置關系，主要考查軌跡方程的求解，考查圖象變換，考查直線與圓的位置關系，解題的關鍵是把向量條件坐標化，熟練掌握直線與圓的位置關系以及橢圓與雙曲線的幾何性質．