Question

對任意復數z=x+yi(x、y∈R)，定義g(z)=3^x(cosy+isiny).

(1)若g(z)=3，求相應的復數z.

（2）若z=a+bi(a、b∈R)中的a為常數，則令g(z)=f(b)，對任意b，是否一定有常數m(m≠0)使得f(b+m)=f(b)？這樣的m是否唯一？說明理由.

（3）計算g(2+i),g(-1+i),g(1+i)，并設立它們之間的一個等式.

Answer 1

思路解析：將復數問題轉化為實數問題來研究是解決復數問題的一種重要思想方法，而實現轉化的橋梁是復數相等的條件.此外本題涉及到三角函數的運算.

解：（1）由得則

    故z=1+2kπi,k∈Z.

（2）由f(b+m)=f(b)，得

即∴m=2kπ,k∈Z.∴m是不唯一的.

（3）∵g(2+i)=9(+i)，g(-1+i)=(+i)，g(1+i)=3i,

∴g(2+i)g(-1+i)=g(1+i).