Question

對于四面體ABCD，下列命題正確的是

①④⑤

（寫出所有正確命題的編號）．
①相對棱AB與CD所在的直線異面；
②由頂點A作四面體的高，其垂足是△BCD的三條高線的交點；
③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在直線異面；
④分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點；
⑤最長棱必有某個端點，由它引出的另兩條棱的長度之和大于最長棱．

Answer 1

分析：①假設相對棱AB與CD所在的直線共面，則A，B，C，D四點在同一平面內，與四面體ABCD矛盾；②只有當四面體的對棱垂直，則垂足才是△BCD的三條高線的交點；③如果AB與CD垂直，則兩條高的垂足重合．此時所作的兩條高所在的直線共面；④對應邊中點的連線是平行四邊形對角線的交點；⑤不妨設AB為最長棱，分類討論（i）當AC≥BD時，
在△ACD中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得，AD+BD＞AB，可判斷（ii）當AC＜BD時，在△ABC中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得AC+BC＞AB，可判斷

解答：解：①假設相對棱AB與CD所在的直線共面，則A，B，C，D四點在同一平面內，與四面體ABCD矛盾，故①正確
②只有當四面體的對棱垂直，則垂足才是△BCD的三條高線的交點，故②錯誤
③如果AB與CD垂直，則兩條高的垂足重合．此時所作的兩條高所在的直線共面，故③錯誤
④對應邊中點的連線是平行四邊形對角線的交點，是正確的．
⑤不妨設AB為最長棱，（i）當AC≥BD時，
在△ACD中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得，AD+BD＞AB，則AD+AC≥AD+BD＞AB
（ii）當AC＜BD時，在△ABC中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得AC+BC＞AB，則DB+BC＞BC+AC＞AB
故⑤正確
故答案為：①④⑤

點評：本題考查異面直線，三垂線定理，棱錐的結構特征，考查空間想象能力邏輯思維能力，屬于綜合試題