Question

已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是線段EF的中點．
（1）求證：AM∥平面BDE；
（2）求證：AM⊥平面BDF．

Answer 1

分析：（1）利用空間向量來證明，先建立空間直角坐標(biāo)系，求出定點坐標(biāo)，欲證AM∥平面BDE，只需用坐標(biāo)證明向量

AM

與平面BDE上的一個向量是平行向量即可．
（2）欲證AM⊥平面BDF，只需證明向量

AM

與平面BDF中的兩個不共線向量垂直即可，也即在平面BDF中找到兩個向量，與向量

AM

數(shù)量積等于0．

解答：解：建立如圖的直角坐標(biāo)系，則各點的坐標(biāo)分別為：
O（0，0，0），A（0，1，0），B（-1，0，0），C（0，-1，0，），D（1，0，0，），
E（0，-1，1），F(xiàn)（0，1，1），M（0，0，1）．
（1）∵

AM

=(0，-1，1)，

OE

=(0，-1，1)
∴

AM

=

OE

，即AM∥OE，
又∵AM?平面BDE，OE?平面BDE，
∴AM∥平面BDE；
（2）∵

BD

=(2，0，0)，

DF

=(-1，1，1)，
∴

AM

•

BD

=0，

AM

•

DF

=0，
∴AM⊥BD，AM⊥DF，∴AM⊥平面BDF．

點評：本題主要考察了利用空間向量的平行或垂直證明立體幾何中的線面平行，線面垂直．