Question

【題目】已知f（x）=x2﹣ （x≠0，常數(shù)a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若f（x）在（﹣∞，﹣2]上為減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=0時，f（x）=x2，

對任意x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)．

當a≠0時，f（x）=x2﹣ （a≠0，x≠0），取x=±1，

得f（﹣1）+f（1）=2≠0，f（﹣1）﹣f（1）=﹣2a≠0，

∴f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），

∴函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，

綜上，當a=0時，f（x）為偶函數(shù)；

當a≠0時，函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

（2）解：f′（x）=2x+ ，

要使函數(shù)f（x）在x∈（﹣∞，﹣2]上為減函數(shù)，

則有f′（x）≤0在（﹣∞，﹣2]時恒成立，

即2x+ ≤0恒成立，

即a≤﹣2x3對x∈（﹣∞，﹣2]恒成立，

故a≤16

【解析】（1）通過討論a=0和a≠0，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≤﹣2x3對x∈（﹣∞，﹣2]恒成立，從而求出a的范圍即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．