Question

【題目】如圖，在圓錐中，已知，⊙O的直徑，點C在底面圓周上，且，為的中點．

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）證明：平面平面；

（Ⅲ）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析 （Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）要證∥平面轉證∥即可；

（Ⅱ）由題意易得，，從而平面,即可得到結果；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面平面，在平面中，過作于，則平面。過作,垂足為,連結，則由三垂線定理得,即是二面角的平面角.

證明 ：（Ⅰ）∵為的中點，為的圓心,則∥,

∵平面， 平面，

∴∥平面。

證明：（Ⅱ）∵，是的中點，∴ .

又底面⊙底面⊙，∴，

∵, 平面，∴平面,

∵平面,

∴平面平面；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面平面，在平面中，過作于，

則平面。過作,垂足為,連結，

則由三垂線定理得,

∴是二面角的平面角.

在中， ,

在△中,可求得,

∴在△中,,

∴ .

即二面角的正弦值為．