Question

【題目】已知函數 ，且f（1）=2，f（2）=3． （I）若f（x）是偶函數，求出f（x）的解析式；
（II）若f（x）是奇函數，求出f（x）的解析式；
（III）在（II）的條件下，證明f（x）在區間 上單調遞減．

Answer 1

【答案】解：（I）函數 ，且f（x）是偶函數，f（1）=2，f（2）=3．則有 f（﹣1）=f（1）=2，
那么：那么： ，解得：a= ，b=0，c= ．
∴f（x）的解析式為f（x）= =
（II）f（x）是奇函數，可得f（﹣x）=﹣f（x），則有 f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
那么： ，解得：a=2，b= ，c=0．
∴f（x）的解析式為f（x）= ．
（III）由（II）可得f（x）= ．
設 ，
那么：f（x1）﹣f（x2）= = =
∵ ，
∴ ，
4x1x2﹣2＜0．
故：f（x1）﹣f（x2）＞0．
所以f（x）在區間 上單調遞減
【解析】（I）根據f（x）是偶函數，可得f（﹣x）=f（x），那么有 f（﹣1）=f（1）=2，可求a，b，c的值．可得解析式（II）根據f（x）是奇函數，可得f（﹣x）=﹣f（x），那么有 f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，可求a，b，c的值．可得解析式（III）定義法證明其單調性．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．