Question

【題目】已知函數的定義域為，若函數滿足：對于給定的 ，存在，使得成立，那么稱具有性質.

（1）函數 是否具有性質？說明理由；

（2）已知函數具有性質，求的最大值；

（3）已知函數的定義域為，滿足，且的圖像是一條連續不斷的曲線，問：是否存在正整數n，使得函數具有性質，若存在，求出這樣的n的取值集合；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）不具有；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用f（x0）=f（x0+），求出x0，根據定義，即可得出結論；

（Ⅱ）m的最大值為．分類進行證明，當m=時，函數f（x）具有性質P（）；假設存在＜m＜1，使得函數f（x）具有性質P（m），則0＜1﹣m＜，證明不存在x0∈（0，1﹣m]，使得f（x0）=f（x0+m）即可；

（Ⅲ）任取k∈N*且k≥2，設g（x）=f（x+）﹣f（x），其中x∈[0， ]，利用疊加法可得g（0）+g（）+…+g（）+…+g（）=f（1）﹣f（0）=0，分類討論：當g（0）、g（）、…、g（）中有一個為0時，函數f（x）具有性質P（）；當g（0）、g（）、…、g（）均不為0時，由于其和為0，則必然存在正數和負數，進而可證函數f（x）具有性質P（）．

試題解析：

（1）函數f（x）=sinx（x∈[0，1]），不具有性質P（）

證明如下：

對任何t∈[0，1﹣]=[0，]，均有0≤t≤t+≤1

由于函數f（x）=sinx，在x∈[0，1]上單調遞增

∴f（t）＜f（t+）

所以，函數f（x）=sinx（x∈[0，1]不具有性質P（）

（2）T的最大值為．求解如下：

∵f（）=f（1）=﹣3×1﹣4=1，又f（）=6×﹣2=1

∴f（t+）=f（t）在t∈[0，1﹣]上有解，t=

因此，f（x）具有性質P（），從而T可取到

下證： ＜T＜1不可能出現．

首先，當x∈（0， ]時，f（x）=﹣3x+1＜1，當x∈（， ）時，f（x）=6x﹣2＜6×﹣2=1

即，當x∈（0， ）時，均有f（x）＜1，同理可得，當x∈（，1），均有f（x）＞1．

假設＜T＜1，那么，當t∈0，1﹣T]時

①若t=0，則f（t）=f（0）=1，又t+T=T∈（，1），

所以f（t+T）=f（T）＞1，即f（t+T）＞f（t）

②若t∈（0，1﹣T] （0， ），則f（t）＜1，又t+T∈（T，1），注意到＜T＜1，故

f（t+T）＞1，故f（t+T）＞f（t）

這就是說，如果＜T＜1，那么，當t∈[0，1﹣T]時，

均有f（t+T）＞f（t），即f（t+T）=f（t）均不成立

綜上所述，T的最大值為

（3）任取n∈N+，n≥2，設h（x）=f（x+）﹣f（x），其中x∈[0，]，則有

h（0）=f（）﹣f（0）

h（）=f（）﹣f（）

h（）=f（）﹣f（）

…

h（）=f（）﹣f（）

…

h（）=f（1）﹣f（）

以上各式相加得h（0）+h（）+f（）+…+h（）+…+h（）=f（1）﹣f（0）=0，

即h（0）+h（）+f（）+…+h（）+…+h（）=0

當h（0），h（），f（），…，h（）中有一個為0時，不妨設為h（）=0，這里i∈{0，1，2，…，n﹣1}，

而0=h（）=f（+）﹣f（），即f（+）﹣f（）=0

推得f（+）=f（）

故函數f（x）具有性質P（）（n∈N+，n≥2）

當h（0），h（），f（），…，h（）均不為0時，因為其和為0，所以必然存在正數與負數，

不妨設h（）＞0，h（）＜0，（i＜j，i，j∈{0，1，2…，n﹣1}）

由于h（x）的圖象也是連續不斷的曲線，故，至少存在一個t∈（，）使得h（t）=0，即f（t+）﹣f（t）=0．

亦即f（t+）=f（t），故函數f（x）具有性質P（）（n∈N+，n≥2）

綜上所述，存在正整數n，且n的取值集合是{n|n∈N+，n≥2}．