Question

已知長為m（m＞0）的線段P₁P₂兩端點上在y²=4x上移動．
（1）求P₁P₂中點M的軌跡方程；
（2）求M點到y軸距離的最小值及對應點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）設P₁（t₁²，2t₁），P₂（t₂²，2t₂），P₁P₂中點為M（x，y），利用x=

1

2

(

t

2 1

+

t

2 2

)，y=t₁+t₂，|P₁P₂|=m，消去t₁，t₂ 即可得到中點的軌跡方程．
（2）通過中點軌跡方程，m≥4，m＜4，求出M點到y軸距離的最小值及對應點M的坐標．

解答：解：（1）設P₁（t₁²，2t₁），P₂（t₂²，2t₂），P₁P₂中點為M（x，y），則
x=

1

2

(

t

2 1

+

t

2 2

)…①y=t₁+t₂…②
而|P₁P₂|=m∴（t₁²-t₂²）²+（2t₁-2t₂）²=m²…③
由①，②，③（4x-y²）（y²+4）=m²…④
這就是P₁P₂中點的軌跡方程．
（2）由④：x=

1

4

(y2+

m2

y2+4

)=

1

4

[(y2+4)+

m2

y2+4

]-1．
∵y²+4∈[4，+∞）
當m≥4時，(y2+4)+

m2

y2+4

≥2m，當僅當y2+4=m，即y=±

m-4

時，
取“=”號．此時：xmin=

m-2

2

．M點的坐標為(

m-2

2

，±

m-4

)．
當m＜4時，由x-

m2

16

=

1

4

(y2+

m2

y2+4

-

m2

4

)=

y2(4y2+16-m2)

16(y2+4)

∵0＜m＜4∴y2+16-m2＞0，當僅當y=0時，x-

m2

16

=0
此時，xmin=

m2

16

，對應M點(

m2

16

，0)
∴當m≥4時，M到y軸距離最小值為

m-2

2

，M點坐標為(

m-2

2

，±

m-4

)．
當0＜m＜4時，M到y軸距離最小值為

m2

16

，M點坐標為(

m2

16

，0)

點評：本題是中檔題，考查曲線的軌跡方程的求法，考查計算能力，轉化思想，函數最值的求法．