Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y-4=0，
（1）若直線l過點A（1，0）且被圓C截得的弦長為2，求直線的方程；
（2）已知圓M過圓C的圓心，且與（1）中直線l相切，若圓M的圓心在直線y=x+1上，求圓M的方程．

Answer 1

分析：（1） 根據圓心到直線的距離等于2

2

，求出直線的斜率，即得直線的方程．
（2） 設出圓心坐標，利用圓心到切線的距離等于半徑求出半徑，再把圓經過的點的坐標代入原方程，
求出圓心坐標，即得圓M的標準方程．

解答：解：（1）C：（x+1）²+（y-2）²=9直線x=1截圓得弦長為2

5

，故l的斜率存在．
設l：y=k（x-1）半徑為3，弦長為2，圓心C到l的距離為2

2

，
 

|2k+2|

1+k2

=2

2

，∴k=1，∴l：y=x-1．
（2）設M（a，a+1），∵r=

|a-(a+1)-1|

2

=

2

，∴圓M：（x-a）²+（y-a-1）²=2，
又過C（-1，2）∴（-1-a）²+（1-a）²=2，∴a=0，
故圓M的方程為：x²+（y-1）²=2．

點評：本題考查直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式、以及弦長公式的應用，用待定系數法求圓的方程是一種
常用的方法．