Question

【題目】已知點是圓心為的圓上的動點，點， 為坐標原點，線段的垂直平分線交于點.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過原點作直線交（1）中的軌跡于點，點在軌跡上，且，點滿足，試求四邊形的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】【試題分析】（1）借助橢圓的定義分析求解；（2）先借助題設將題設條件進行等價轉化，再建立目標函數運用基本不等式進行分析探求：

（1）由于點在線段的垂直平分線上，故，因此，故點軌跡為橢圓，其中， ，因此點的軌跡的方程為.

（2）由，知四邊形為平行四邊形，故.

（i）當為長軸（或短軸）時，依題意，知點就是橢圓的上下頂點（或左右頂點），此時，即.

（ii）當直線的斜率存在且不為0時，設斜率為，則直線的方程為，聯立方程，消去，得，故， ，

所以，由，知為等腰三角形， 為的中點，所以，所以直線的方程為，

同理，得，

，

設，則，

而，所以當時， ，又，所以，

所以，

綜上所述， .

所以四邊形的面積的取值范圍為.