Question

（理）設函數f（x）=（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若對所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導，得到f'（x），分別令f'（x）＞0，f'（x）＜0得到遞增和遞減區間．
（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，注意到g（0）=0，則“不等式f（x）≥ax在x≥0時恒成立”等價于“g（x）≥g（0）在x≥0時恒成立”
通過求導研究函數g（x）的單調性和極值，從而畫出函數圖象，結合著g（0）=0，得到a的范圍．

解答：解：（1）由f'（x）=ln（x+1）+1≥0得x≥

1

e

-1，∴f（x）的增區間為[

1

e

-1，+∞)，減區間為(-1，

1

e

-1]．
（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax．“不等式f（x）≥ax在x≥0時恒成立”?“g（x）≥g（0）在x≥0時恒成立．”g'（x）=ln（x+1）+1-a=0?x=e^a-1-1．
當x∈（-1，e^a-1-1）時，g'（x）＜0，g（x）為減函數．
當x∈（e^a-1-1，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）為增函數．
“g（x）≥0在x≥0時恒成立”?“e^a-1-1≤0”，即e^a-1≤e⁰，即a-1≤0，即a≤1．
故a的取值范圍是（-∞，1]．

點評：本題的第一小問是常規題，即利用導數研究函數的單調性，極值和最值．第二小問的轉化，令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，注意到g（0）=0，則“不等式f（x）≥ax在x≥0時恒成立”等價于“g（x）≥0在x≥0時恒成立”比較巧妙，避免了繁雜的分類討論，使得問題更快地解決．