Question

（理）設(shè)函數(shù)f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a為常數(shù)）．
（1）當a=2時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a＞-2，且函數(shù)f（x）的最小值為2，求a的值；
（3）若a≥2，不等式f（x）≥ab²恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用絕對值的幾何意義，將函數(shù)寫出分段函數(shù)，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)a＞-2，分類討論，確定函數(shù)的最小值，利用函數(shù)f（x）的最小值為2，可求a的值；
（3）利用（2）的結(jié)論，問題等價于a-1≥ab²（a≥2）恒成立，構(gòu)造以a為參數(shù)的函數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）a=2時，f(x)=x2+|2x-2|=

x2+2x-2 x2-2x+2

，

x≥1 x＜1

，…（2分）
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（-∞，1]．       …（6分）
（2）f(x)=

x2+2x-a x2-2x+a

，

x≥ a 2 x＜ a 2

，…（8分）
∵a＞-2，∴

a

2

＞-1，
當a≥2時，函數(shù)y=f（x）的最小值為f（1）=a-1=2，解得a=3符合題意；      …（10分）
當-2＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）的最小值為f(

a

2

)=

a2

4

=2，無解；
綜上，a=3．                                                        …（12分）
（3）由（2）知，當a≥2時函數(shù)y=f（x）的最小值為f（1）=a-1，
所以a-1≥ab²（a≥2）恒成立，令g（a）=a（b²-1）+1（a≥2），…（14分）
有：

b2-1≤0 2(b2-1)+1≤0

，故-

2

2

≤b≤

2

2

．                              …（16分）

點評：本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．