Question

P、Q是拋物線y=x²上頂點以外的兩點，O為坐標原點．∠POQ=

π

4

，直線l₁、l₂分別是過P、Q兩點拋物線的切線．（Ⅰ）則l₁、l₂的交點M點的軌跡方程是______；（Ⅱ）若l₁、l₂分別交x軸于A、B兩點，則過△ABM的垂心與點(0，-

1

4

)的直線方程是______．

Answer 1

（Ⅰ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y）
∵∠POQ=

π

4

∴

2

2

=

OP • OQ

| OP || OQ |

=

x1x2

( x 21 +   x 22 )( y 21 + y 22 )

      ①
∵直線l₁、l₂分別是過P、Q兩點拋物線的切線，y=x²，y′=2x
∴直線l₁的方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁）
直線l₂的方程為y-x₂²=2x₂（x-x₂）
∴l₁、l₂的交點

x= x1+x2 2 y=x1•x2

∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4x²-2y，y₁²+y₂²=x₁⁴+x₂⁴=（x₁²+x₂²）²-2x₁²x₂²=（4x²-2y）²-2y²   ②
將②代入①得

2

2

=

y

(4x2-2y)((4x2-2y)2-2y2)

化簡得4x²-y²-6y-1=0（y≠0）
故答案為4x²-y²-6y-1=0（y≠0）
（Ⅱ）由（I）得，A（

x1

2

，0），B（

x2

2

，0）
過點A，且與l₂垂直的直線方程為y=-

1

2x2

（x-

x1

2

）     ③
過點M，且與AB垂直的直線方程為x=

x1+x2

2

          ④
將④代入③得△ABM的垂心縱坐標y=-

1

4

∴過△ABM的垂心與點(0，-

1

4

)的直線方程是y=-

1

4

故答案為y=-

1

4