Question

P、Q是拋物線y=x²上頂點以外的兩點，O為坐標原點．∠POQ=

π

4

，直線l₁、l₂分別是過P、Q兩點拋物線的切線．（Ⅰ）則l₁、l₂的交點M點的軌跡方程是

4x²-y²-6y-1=0（y≠0）

；（Ⅱ）若l₁、l₂分別交x軸于A、B兩點，則過△ABM的垂心與點(0，-

1

4

)的直線方程是

y=-

1

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設出M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據．∠POQ=

π

4

，得到含M，P，Q三點坐標的關系式，再因為直線l₁、l₂分別是過P、Q兩點拋物線的切線，所以直線l₁、l₂的斜率分別是拋物線在P，Q兩點處的導數，再求出直線l₁、l₂的方程，聯立解出交點坐標，把得到的式子與前面得到的式子聯立化簡，就可得到M點的軌跡方程．
（Ⅱ）先求邊BM上的高所在直線，其過點A，且斜率為-

1

2x2

，再與AB邊上的高x=

x1+x2

2

聯立即可得垂心的縱坐標，最后兩點所在直線方程為一條垂直于y軸的直線

解答：解：（Ⅰ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y）
∵∠POQ=

π

4

∴

2

2

=

OP • OQ

| OP || OQ |

=

x1x2

( x 2 1 +   x 2 2 )( y 2 1 + y 2 2 )

      ①
∵直線l₁、l₂分別是過P、Q兩點拋物線的切線，y=x²，y′=2x
∴直線l₁的方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁）
直線l₂的方程為y-x₂²=2x₂（x-x₂）
∴l₁、l₂的交點

x= x1+x2 2 y=x1•x2

∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4x²-2y，y₁²+y₂²=x₁⁴+x₂⁴=（x₁²+x₂²）²-2x₁²x₂²=（4x²-2y）²-2y²   ②
將②代入①得

2

2

=

y

(4x2-2y)((4x2-2y)2-2y2)

化簡得4x²-y²-6y-1=0（y≠0）
故答案為4x²-y²-6y-1=0（y≠0）
（Ⅱ）由（I）得，A（

x1

2

，0），B（

x2

2

，0）
過點A，且與l₂垂直的直線方程為y=-

1

2x2

（x-

x1

2

）     ③
過點M，且與AB垂直的直線方程為x=

x1+x2

2

          ④
將④代入③得△ABM的垂心縱坐標y=-

1

4

∴過△ABM的垂心與點(0，-

1

4

)的直線方程是y=-

1

4

故答案為y=-

1

4

點評：本題考察了直線與拋物線的位置關系，參數法求點的軌跡方程，利用導數的幾何意義寫出切線方程，恰當的引入參數，并能巧妙地消去參數得軌跡方程是解決本題的關鍵