Question

已知中心在原點的橢圓C：的一個焦點為F1(0,3)，M(x,4)(x＞0)為橢圓C上一點，△MOF1的面積為.

（1） 求橢圓C的方程；

（2） 是否存在平行于OM的直線l，使得直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好經過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1） （2） 符合題意的直線存在，且所求的直線的方程為或.

【解析】

試題分析：（1） 求橢圓C的方程，根據橢圓的焦點為，可得橢圓的方程為，利用橢圓上一點，利用的面積為，可求出的坐標，將的坐標代入橢圓的方程，即可確定橢圓的方程；（2） 這是探索性命題，可假設存在符合題意的直線l存在，設直線方程代入橢圓方程，消去y，可得一元二次方程，利用韋達定理，結合以線段AB為直徑的圓恰好經過原點，得，利用即可求得結論．

試題解析：（1） 因為橢圓C的一個焦點為F1(0,3)，

所以b2＝a2＋9.

則橢圓C的方程為＋＝1.

因為x＞0，所以＝×3×x＝，解得x＝1.

故點M的坐標為(1,4)．

因為M(1,4)在橢圓上，

所以＋＝1，得a4－8a2－9＝0，解得a2＝9或a2＝－1(不合題意，舍去)，

則b2＝9＋9＝18，所以橢圓C的方程為. 6分

（2） 假設存在符合題意的直線l與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，

其方程為y＝4x＋m(因為直線OM的斜率k＝4)．

由消去y化簡得18x2＋8mx＋m2－18＝0.

進而得到x1＋x2＝－，x1x2＝.

因為直線l與橢圓C相交于A，B兩點，

所以Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)＞0，

化簡得m2＜162，解得－9＜m＜9.

因為以線段AB為直徑的圓恰好經過原點，所以＝0，

所以x1x2＋y1y2＝0.

又y1y2＝(4x1＋m)(4x2＋m)＝16x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2，

x1x2＋y1y2＝17x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝0.

解得m＝±.

由于±∈(－9，9)，

所以符合題意的直線l存在，且所求的直線l的方程為y＝4x＋或y＝4x－. 13分

考點：直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程．