Question

已知中心在原點的橢圓C的一個焦點F（4，0），長軸端點到較近焦點的距離為1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）為橢圓上不同的兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若x₁+x₂=8，在x軸上是否存在一點D，使|

DA

|=|

DB

|若存在，求出D點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由中心在原點的橢圓C的一個焦點F（4，0），我們及確定c的值，再結合長軸端點到較近焦點的距離為1，我們可以求出a的值，進而求出b值后，即可得到橢圓的方程；
（2）若存在一點D，使|

DA

|=|

DB

|，根據垂直平分線的性質，則D一定在線段AB的垂直平分線上，根據已知我們設出AB中點坐標，再根據直線垂直的充要條件，構造方程，解方程即可得到D點的坐標．

解答：解：（1）由題設知c=4，a-c=1，∴a=5，b=3．
∴所求方程為

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）假設存在點D（x₀，0），由|

DA

|=|

DB

|，
則點D在線段AB的中垂線上，
又線段AB的中點為(4，

y1+y2

2

)，
∴線段AB的中垂線方程為：
y-

y1+y2

2

=-

x1-x2

y1-y2

（x-4）．①
又

x 2 1

25

+

y 2 1

9

=1，

x 2 2

25

+

y 2 2

9

=1，
∴

x 2 1 - x 2 2

25

+

y 2 1 - y 2 2

9

=0．
∴

x1-x2

y1-y2

=-

25

9

•

y1+y2

8

．
在①中令y=0，∴-

y1+y2

2

=

25(y1+y2)

72

（x₀-4）．
∴x₀=

64

25

，∴存在點D為(

64

25

，0)．

點評：本題考查的知識點是橢圓的簡單性質及直線與圓錐曲線的綜合問題，其中根據已知條件求出橢圓的標準方程是解答此類問題的基礎．