Question

如圖所示，F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，M為橢圓上一點，MF₂垂直于x軸，且OM與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過F₂有與OM垂直的直線交橢圓于P、Q兩點，若，求橢圓的方程．

Answer 1

解：（1）∵M為橢圓上一點，MF₂垂直于x軸，∴M（c，）
∵OM與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行，
∴
∴b=c
∴e==
（2）由（1）得，b=c
聯立方程組，消元可得5y²-2cy-2c²=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁+y₂=，y₁y₂=-
∴|y₁-y₂|=
∴
∴c²=b²=25，a²=50
∴橢圓的方程為
分析：（1）確定M的坐標，利用OM與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行，得到斜率相等，由此即可求得橢圓的離心率；
（2）由（1）得，b=c，聯立方程組，消元可得5y²-2cy-2c²=0，利用韋達定理，計算三角形的面積，利用已知條件即可求得橢圓的方程．
點評：本題考查橢圓的性質，考查橢圓的標準方程，聯立方程組，利用韋達定理，計算三角形的面積是關鍵．