Question

如圖所示，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A、B為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)N（0，

1

2

），求|MN|的最大值．
（3）過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)F₂作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求△F₁PQ的面積．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知：2a=4，即a=2，將點(diǎn)（1，

3

2

）代入橢圓方程可求得b²，由此能得到橢圓方程．
（2）設(shè)M（x₀，y₀），|MN|=

x02+(y0- 1 2 )2

，由點(diǎn)M在橢圓上得

x02

4

+

y02

3

=1，消掉x₀，從而|MN|可變?yōu)殛P(guān)于y₀的函數(shù)，借助二次函數(shù)性質(zhì)即可求得其最大值；
（3）設(shè)P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），則S△F1PQ=

1

2

•|F₁F₂|•|y₁-y₂|，易求直線PQ方程，與橢圓聯(lián)立方程組，|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

，用韋達(dá)定理即可求得．

解答：解：（1）由題設(shè)知：2a=4，即a=2，
將點(diǎn)（1，

3

2

）代入橢圓方程得

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，解得b²=3，
∴c²=a²-b²=4-3=1，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)M（x₀，y₀），則

x02

4

+

y02

3

=1，x02=4(1-

y02

3

)，
所以|MN|=

x02+(y0- 1 2 )2

=

4(1- y02 3 )+(y0- 1 2 )2

=

- 1 3 (y0+ 3 2 )2+5

，
又-

3

≤y0≤

3

，
所以當(dāng)y0=-

3

2

時(shí)|MN|取得最大值為

5

；
（3）由（1）知A（-2，0），B（0，

3

），∴k_PQ=k_AB=

3

2

，
∴PQ所在直線方程為y=

3

2

（x-1），
由

y= 3 2 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

得 8y²+4

3

y-9=0，
設(shè)P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），則y₁+y₂=-

3

2

，y₁y₂=-

9

8

，
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

(- 3 2 )2-4(- 9 8 )

=

21

2

，
∴S△F₁PQ=

1

2

|F₁F₂|•y₁-y₂|=

1

2

×2×

21

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓C的方程和求△F₁PQ的面積．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．