Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c滿足：f(-

1

4

+x)=f(-

1

4

-x)，且方程f（x）=2x的兩根為-1和

3

2

．
（1）求函數y=(

1

3

)f(x)的單調減區間；
（2）設g（x）=f（x）-mx（m∈R），若g（x）在x∈[-1，+∞）上的最小值為-4，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由條件可得-

b

2a

=-

1

4

，-1+

3

2

=-

b-2

a

，-1×

3

2

=

c

a

，由此解得：a、b、c的值，可得f（x）的解析式，根據復合函數的單調性，本題即求函數f（x）的增區間．再根據二次函數的性質求得f（x）的增區間．
（2）g（x）=2x²+（1-m）x-3的對稱軸方程為x=

m-1

4

，再分

m-1

4

＜-1 和

m-1

4

≥-1兩種情況，根據g（x）在x∈[-1，+∞）上的最小值為-4，求得m的值．

解答：解：（1）∵f(-

1

4

+x)=f(-

1

4

-x)，∴-

b

2a

=-

1

4

，即a=2b①．…（2分）
又∵方程f（x）=2x，即ax²+（b-2）x+c=0，它的兩根為-1和

3

2

，∴-1+

3

2

=-

b-2

a

 ②，-1×

3

2

=

c

a

 ③．…（4分）
由①②③得：a=2，b=1，c=-3，∴f（x）=2x²+x-3．…（6分）
函數y=(

1

3

)f(x)的單調減區間，即函數f（x）的增區間．
∵f（x）在(-

1

4

，+∞)上是增函數，∴函數y=(

1

3

)f(x)在(-

1

4

，+∞)上是減函數，即函數y=(

1

3

)f(x)的單調減區間為(-

1

4

，+∞)． …（7分）
（2）g（x）=2x²+（1-m）x-3其對稱軸方程為x=

m-1

4

，
①若

m-1

4

＜-1，即m＜-3時，g（x）_min=g（-1）=m-2；
由m-2=-4得 m=-2，不符合題意．  …（9分）
②若

m-1

4

≥-1，即m≥-3時，g(x)min=g(

m-1

4

)=-

(m-1)2

8

-3，
即-

(m-1)2

8

-3=-4，解得：m=1±2

2

符合題意，…（11分）
∴m=1±2

2

．…（12分）

點評：本題主要考查復合函數的單調性，二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．