Question

已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若(a2－1)3＋2 012·(a2－1)＝1，(a2 011－1)3＋2 012(a2 011－1)＝－1，則下列四個命題中真命題的序號為________．

①S2 011＝2 011；②S2 012＝2 012；③a2 011＜a2；④S2 011＜S2.

 

Answer 1

②③

【解析】該題通過條件(a2－1)3＋2 012(a2－1)＝1，(a2 011－1)3＋2 012(a2 011－1)＝－1，考查函數與方程的思想，由于函數f(x)＝x3＋x是奇函數，由條件有f(a2－1)＝1，f(a2 011－1)＝－1.另外，f′(x)＝3x2＋1＞0，所以，f(x)是單調遞增的，而f(1)＝2＞1＝f(a2－1)，∴a2－1＜1，a2＜2，所以，a2－1＝－(a2 011－1)，∴a2＋a2 011＝2，且a2－1＞a2 011－1，∴a2＞0＞a2 011；又由等差數列{an}考查等差數列概念與通項公式，由此可得S2 012＝×2 012＝2 012，d＜0，∴S2 011＝S2 012－a2 012＝2 012－(2－a2＋d)＝2 010＋a1＞a1＋a2＝S2.