Question

已知數列{an}滿足：a1＝，an＋1＝ (n∈N*)．

(1)求a2，a3的值；

(2)證明：不等式0＜an＜an＋1對于任意n∈N*都成立．

 

Answer 1

（1）a2＝，a3＝（2）見解析

【解析】(1)由題意，得a2＝，a3＝.

(2)①當n＝1時，由(1)知0＜a1＜a2，不等式成立．

②設當n＝k(k∈N*)時，0＜ak＜ak＋1成立，則當n＝k＋1時，由歸納假設，知ak＋1＞0.

而ak＋2－ak＋1＝ ＝＝＞0，

所以0＜ak＋1＜ak＋2，

即當n＝k＋1時，不等式成立．

由①②，得不等式0＜an＜an＋1對于任意n∈N*成立．