Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ． 若對任意正整數n，總存在正整數m，使得Sn=am ， 則稱{an}是“H數列”．
（1）若數列{an}的前n項和Sn=2n（n∈N*），證明：{an}是“H數列”；
（2）設{an}是等差數列，其首項a1=1，公差d＜0．若{an}是“H數列”，求d的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：當n=1時，a1=S1=2，

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，

所以 ，

所以對任意的n∈N*， 是數列{an}中的第n+1項，

因此數列{an}是“H數列”

（2）解：依題意，an=1+（n﹣1）d， ，

若{an}是“H數列”，則對任意的n∈N*，都存在k∈N*使得ak=Sn，

即1+（k﹣1）d= ，

所以 ，

又因為k∈N*， ，

所以對任意的n∈N*， ，且d＜0，

所以d=﹣1．

【解析】（1）由已知得 ，由此能證明數列{an}是“H數列”．（2）依題意，an=1+（n﹣1）d， ，若{an}是“H數列”，則1+（k﹣1）d= ，由此能求出d的值．
【考點精析】通過靈活運用數列的通項公式，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．