Question

【題目】已知橢圓的右焦點為F，過點的直線l與E交于A，B兩點.當l過點F時，直線l的斜率為，當l的斜率不存在時，.

（1）求橢圓E的方程.

（2）以AB為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）以AB為直徑的圓恒過定點.

【解析】

（1）根據直線的斜率公式求得的值，由，即可求得的值，求得橢圓方程；

（2）當直線的斜率存在，設直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及以直徑的圓的方程，令，即可求得，即可判斷以為直徑的圓過定點．

（1）設橢圓半焦距為c，由題意，所以.

l的斜率不存在時，，所以，.

所以橢圓E的方程為.

（2）以AB為直徑的圓過定點.

理由如下：

當直線的斜率存在時，設的方程，，，，，

聯立方程組，消去，

整理得，

所以，，

所以，，

以為直徑的圓的方程：，

即，

令，則，

解得或，

所以為直徑的圓過定點．

當直線l的斜率不存在時，，，

此時以AB為直徑的圓的方程為.

顯然過點．

綜上可知，以為直徑的圓過定點．