Question

22、如圖，已知AP是⊙O的切線，P為切點，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B，C兩點，圓心O在∠PAC的內部，點M是BC的中點．
（Ⅰ）證明A，P，O，M四點共圓；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．

Answer 1

分析：（1）要證明四點共圓，可根據(jù)圓內接四邊形判定定理：四邊形對角互補，而由AP是⊙O的切線，P為切點，易得∠APO=90°，故解答這題的關鍵是證明，∠AMO=90°，根據(jù)垂徑定理不難得到結論．
（2）由（1）的結論可知，∠OPM+∠APM=90°，只要能說明∠OPM=∠OAM即可得到結論．

解答：證明：（Ⅰ）連接OP，OM．
因為AP與⊙O相切于點P，所以OP⊥AP．
因為M是⊙O的弦BC的中點，所以OM⊥BC．
于是∠OPA+∠OMA=180°．
由圓心O在∠PAC的內部，可知四邊形M的對角互補，
所以A，P，O，M四點共圓．

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得A，P，O，M四點共圓，所以∠OAM=∠OPM．
由（Ⅰ）得OP⊥AP．
由圓心O在∠PAC的內部，可知∠OPM+∠APM=90°．
又∵A，P，O，M四點共圓
∴∠OPM=∠OAM
所以∠OAM+∠APM=90°．

點評：本題是考查同學們推理能力、邏輯思維能力的好資料，題目以證明題為主，特別是一些定理的證明和用多個定理證明一個問題的題目，我們注意熟練掌握：1．射影定理的內容及其證明； 2．圓周角與弦切角定理的內容及其證明；3．圓冪定理的內容及其證明；4．圓內接四邊形的性質與判定；