Question

22、如圖，已知AP是⊙O的切線，P為切點，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B，C兩點，圓心O在∠PAC的內部，點M是BC的中點．
（Ⅰ）證明A，P，O，M四點共圓；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．

Answer 1

分析：（I）連接OP，OM，利用AP與⊙O相切于點P和M是⊙O的弦BC的中點得到垂直關系，從而證得四邊形的對角互補，最后得到A，P，O，M四點共圓；
（II）由（Ⅰ）得A，P，O，M四點共圓得到∠OAM=∠OPM，及OP⊥AP，從而∠OPM+∠APM=90°，從而問題解決．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接OP，OM．
因為AP與⊙O相切于點P，所以OP⊥AP．
因為M是⊙O的弦BC的中點，所以OM⊥BC．
于是∠OPA+∠OMA=180°．
由圓心O在∠PAC的內部，可知四邊形的對角互補，
所以A，P，O，M四點共圓．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四點共圓，所以∠OAM=∠OPM．
由（Ⅰ）得OP⊥AP．
由圓心O在∠PAC的內部，可知∠OPM+∠APM=90°．
所以∠OAM+∠APM=90°．

點評：本小題主要考查與圓有關的比例線段、與圓有關的比例線段的應用、四點共圓的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．